新图标

May 22, 2014

这是一篇旧文，其中的内容可能已经过时。

我决定为站点添加一个图标。然而找不到想表达的意思，干脆弄一个拉风的动态图标好了。

支持动态图标的浏览器

Browser	ICO	PNG	GIF	animated GIFs	JPEG	APNG	SVG
Firefox	1.0	1.0	1.0	Yes	Yes	3.0	No
Google Chrome	Yes	Yes	4.0	4.0	4.0	No	?
Internet Explorer	5.0	11.0	11.0	No	No	No	No
Opera	7.0	7.0	7.0	7.0	7.0	9.5	?
Safari	Yes	4.0	4.0	No	4.0	No	No

据说 Chrome 也是看不到动画效果的，不过管它呢，我用火狐。

构造

旋转起来有特色的图形，我想到了两个：一个是太极图，另一个是蚊香。正在两者之间犹豫时，我灵机一动 🤔 ，画出了这张图：

A = {(r, θ) : r \in (0, \frac{π}{2}), 2 tan r - θ \in (0, π)}

于是有了现在的图标。

如你所见：

这个集合是有界的连通开集，被包含在 ${r < \frac{π}{2}}$ 以内，且占据了它一半的面积；
在接近中心的地方，它表现得像太极图那样初等；在接近外围的地方，它又像阿基米德螺线那样盘旋了无数圈。

作图过程中的问题

在 Mathematica 中作图时，遇到了不少问题：

一开始用的表达式：
$(arctan \frac{t}{2} cos (t - s), arctan \frac{t}{2} sin (t - s)), t \in (0, 200), s \in (0, π)$
这样有个显著的缺点：当 $t$ 固定时，点随 $s$ 的变化扫出的是一段半圆弧，所以只有 $s$ 的取样点足够多时，才不至于看到明显的折角。

解决方案：把表达式改成
$(arctan \frac{t + s}{2} cos t, arctan \frac{t + s}{2} sin t), t \in (0, 200), s \in (0, π)$
当 $t$ 固定时，点随 $s$ 的变化扫出的是一条线段，这样 $s$ 只要取三个样点就可以了。
采用了新的表达式，极轴下方的“蛇头”却不翼而飞。

解决方案：不慌不忙地把“蛇头”补上：
$(- arctan \frac{u}{2} cos u v, - arctan \frac{u}{2} sin u v), u \in (0, π), v \in (0, 1)$
由于边界线存在固定宽度，图形外围一片漆黑，而不是设想中的 50% 灰。

解决方案：不显示边界线。
去掉边界线之后，原先平滑的边缘变成了锯齿状。这是由于曲线的图像支持抗锯齿，而区域不支持。

解决方案：图形抗锯齿工具

ParametricPlot3D[
  {
    {Cos[u + v], Sin[u + v], Sin[u - v]},
    {-Sin[u + v], Cos[u + v], Sin[u - v]},
    {-Cos[u + v], -Sin[u + v], Sin[u - v]},
    {Sin[u + v], -Cos[u + v], Sin[u - v]},
    {Sin[u - v], Cos[u + v], Sin[u + v]},
    {Sin[u - v], -Sin[u + v], Cos[u + v]},
    {Sin[u - v], -Cos[u + v], -Sin[u + v]},
    {Sin[u - v], Sin[u + v], -Cos[u + v]},
    {Cos[u + v], Sin[u - v], Sin[u + v]},
    {-Sin[u + v], Sin[u - v], Cos[u + v]},
    {-Cos[u + v], Sin[u - v], -Sin[u + v]},
    {Sin[u + v], Sin[u - v], -Cos[u + v]}
  },
  {u, 0, Pi/4},
  {v, 0, Pi/4},
  Mesh -> False, PlotStyle -> Opacity[0.7]
]

题外话

在很长的一段时间内，人们认为平面上的曲线至多是两个不相交区域（即连通开集）的公共边界。上面的图形给出了一个反例： ${r = \frac{π}{2}}$ 是三个区域 $A$ 、 $A$ 的中心对称像和 ${r > \frac{π}{2}}$ 的公共边界。类似地，可以构造任意多个不相交区域有公共边界的情形。