自然数方幂的和

Apr 13, 2014

这是一篇旧文，其中的内容可能已经过时。

我们已经知道：

r = 1 \sum n r r = 1 \sum n r^{2} r = 1 \sum n r^{3} r = 1 \sum n r^{4} r = 1 \sum n r^{5} = \frac{n ^{2}}{2} + \frac{n}{2} = \frac{n ^{3}}{3} + \frac{n ^{2}}{2} + \frac{n}{6} = \frac{n ^{4}}{4} + \frac{n ^{3}}{2} + \frac{n ^{2}}{4} = \frac{n ^{5}}{5} + \frac{n ^{4}}{2} + \frac{n ^{3}}{3} - \frac{n}{30} = \frac{n ^{6}}{6} + \frac{n ^{5}}{2} + \frac{5 n ^{4}}{12} - \frac{n ^{2}}{12}

为了确定一般的表达式，笔者提出了这样的猜测：

r = 1 \sum n r^{k} = \frac{n ^{k + 1}}{k + 1} + \frac{( 0 k ) n ^{k}}{2} + \frac{( 1 k ) n ^{k - 1}}{12} - \frac{( 3 k ) n ^{k - 3}}{120} + \dots = \frac{n ^{k + 1}}{k + 1} + l = 0 \sum k - 1 c_{l} (l k) n^{k - l}

其中 $c$ 为待定系数组： $c_{0} = \frac{1}{2}, c_{1} = \frac{1}{12}$ … 在上式中令 $n = 1$ ，得到 $c$ 的递推关系式

\frac{k}{k + 1} = l = 1 \sum k - 1 c_{l} (l k)

在 Mathematica 中求出 c 的前 100 项，并检验方程 $(1)$ ：

c = {};
(* 按 (1) 左边求和 *)
TrueSum[exp_, n_] := Plus @@ (Range[n]^exp);
(* 按 (1) 右边求和 *)
UnknownSum[exp_, n_] := Plus @@ Append[MapIndexed[#1 Binomial[exp, First[#2] - 1] n^(exp - First[#2] + 1) &, Take[c, exp]], n^(1 + exp)/(1 + exp)];

Do[
  (* 按 (2) 逐项求 c *)
  AppendTo[c, (k/(k + 1) - Plus @@ MapIndexed[#1 Binomial[k, First[#2] - 1] &, c])/k];
  (* b 为真当且仅当对所有 r<k+2， (1) 均成立，此时由线性方程组理论知 (1） 恒成立 *)
  Do[b = True; b = b && UnknownSum[k, r] == TrueSum[k, r], {r, k + 1}];
  (* 按 b 的值输出关于 k 的公式 *)
  Print[Underoverscript["\[Sum]", "r=1", "n"], "r"^k, If[b, "=", "!="], TraditionalForm[UnknownSum[k, "n"]]], {k, 100}]

由此结果，有理由相信 $(1)$ 是成立的。

事实上，Jacob Bernoulli 早已证明了 $(1)$ 的正确性，并给出了一种更统一的表达：

r = 0 \sum n r^{k} = \frac{1}{k + 1} l = 1 \sum k + 1 (l k + 1) (- 1)^{k - l + 1} B_{k - l + 1} n^{l}

其中， $B_{n}$ 为 Bernoulli 数，有

B_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 1, - 1/2, n c_{n - 1}, n = 0 n = 1 n \geq 2

参考文献：

周奇. 2008-2011 年数学笔记[H]. 2010, 09: 71-74.
Weisstein, Eric W. Bernoulli Number.