如何用 Photoshop 画出等角螺线

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Follow these steps:

  1. 画一个路径
  2. 作缩放和旋转变换
  3. 再次变换若干次
  4. 用画笔描边
  • 关于一点的缩放和关于另一点的旋转的复合,是平面到自身的一个非退化的线性变换
  • 这样的(非平凡)线性变换有且只有一个不动点 O
  • 任一点经过一次变换,到 O 的距离乘以一个常数倍,与 O 的连线旋转一个常数角
  • 任一点的所有次变换像在某等角螺线 r=ae

squares

  • 通过此图容易看出这四条等角螺线互为渐屈线
  • 更一般地,Jacob Bernoulli 发现所有等角螺线的渐屈线和渐伸线仍是全等于自身的等角螺线
  • 不仅如此,Jacob Bernoulli 还发现等角螺线在求反演、求垂足曲线、缩放等诸多变换后仍然是原先的等角螺线
  • Jacob Bernoulli 决定把等角曲线刻在自己的墓碑上,还加上了一句话“Eadem mutata resurgo”大意是“我就是不变”
  • 结果雕刻工匠把等速螺线刻了上去
Jacob Bernoulli 的墓碑

Jacob Bernoulli 的墓碑

  • 它还是小狗追逐问题的解:在正方形的四个角上有四只小狗,每只小狗朝向左边的小狗以相同的速率奔跑,求其路径
  • 小狗们在相遇之前转了无数圈
  • 每只小狗所走路程等于正方形边长
利用“动作”工具做的彩虹圈

利用“动作”工具做的彩虹圈

总而言之,看完 oeasy 老师的 Ps 教程 后涨了不少新姿势。

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