三视图均为单位圆的几何体的最大体积

首先弄清楚这是一个什么样的几何体。

如果一个几何体的三视图均为单位圆,将这三个单位圆分别沿着对应的视线方向作平移,得到三个互相垂直的圆柱体,那么该几何体位于这三个圆柱体的交内。显而易见,当且仅当这三个圆柱体的轴交于一点时,三视图才是完整的圆。

由上述分析知,下列表达式所确定的几何体即为所求:\[\begin{cases}x^2+y^2\leq 1\\y^2+z^2\leq 1\\z^2+x^2\leq 1\end{cases}\]

在 Mathematica 中作图(使用了图形抗锯齿工具):

intersection

计算得\[V=\frac {48} 3 \int_0^\frac \pi 4 \sin x\,\mathrm{d}x=16-8\sqrt{2}\]

参考文献:

  1. 周奇. 2008-2011 年数学笔记 [H]. 2010, 06: 51.

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