三视图均为单位圆的几何体的最大体积

由 HandsomeOne · 发布日期 2014-04-03 · 已更新 2016-06-13

首先弄清楚这是一个什么样的几何体。

如果一个几何体的三视图均为单位圆，将这三个单位圆分别沿着对应的视线方向作平移，得到三个互相垂直的圆柱体，那么该几何体位于这三个圆柱体的交内。显而易见，当且仅当这三个圆柱体的轴交于一点时，三视图才是完整的圆。

由上述分析知，下列表达式所确定的几何体即为所求：\[\begin{cases}x^2+y^2\leq 1\\y^2+z^2\leq 1\\z^2+x^2\leq 1\end{cases}\]

在 Mathematica 中作图（使用了图形抗锯齿工具）：

ParametricPlot3D[

{{Cos[u + v], Sin[u + v], Sin[u - v]},

{-Sin[u + v], Cos[u + v], Sin[u - v]},

{-Cos[u + v], -Sin[u + v], Sin[u - v]},

{Sin[u + v], -Cos[u + v], Sin[u - v]},

{Sin[u - v], Cos[u + v], Sin[u + v]},

{Sin[u - v], -Sin[u + v], Cos[u + v]},

{Sin[u - v], -Cos[u + v], -Sin[u + v]},

{Sin[u - v], Sin[u + v], -Cos[u + v]},

{Cos[u + v], Sin[u - v], Sin[u + v]},

{-Sin[u + v], Sin[u - v], Cos[u + v]},

{-Cos[u + v], Sin[u - v], -Sin[u + v]},

{Sin[u + v], Sin[u - v], -Cos[u + v]}},

{u, 0, Pi/4},

{v, 0, Pi/4},

Mesh -> False, PlotStyle -> Opacity[0.7]]

intersection

计算得\[V=\frac {48} 3 \int_0^\frac \pi 4 \sin x\,\mathrm{d}x=16-8\sqrt{2}\]

参考文献：