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三视图均为单位圆的几何体的最大体积

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首先弄清楚这是一个什么样的几何体。

如果一个几何体的三视图均为单位圆，将这三个单位圆分别沿着对应的视线方向作平移，得到三个互相垂直的圆柱体，那么该几何体位于这三个圆柱体的交内。显而易见，当且仅当这三个圆柱体的轴交于一点时，三视图才是完整的圆。

由上述分析知，下列表达式所确定的几何体即为所求：

{x2+y2≤1y2+z2≤1z2+x2≤1\begin{cases} x^2+y^2 \leq 1 \\ y^2+z^2 \leq 1 \\ z^2+x^2 \leq 1 \end{cases}

在 Mathematica 中作图（使用了图形抗锯齿工具）：

ParametricPlot3D[
  {
    {Cos[u + v], Sin[u + v], Sin[u - v]},
    {-Sin[u + v], Cos[u + v], Sin[u - v]},
    {-Cos[u + v], -Sin[u + v], Sin[u - v]},
    {Sin[u + v], -Cos[u + v], Sin[u - v]},
    {Sin[u - v], Cos[u + v], Sin[u + v]},
    {Sin[u - v], -Sin[u + v], Cos[u + v]},
    {Sin[u - v], -Cos[u + v], -Sin[u + v]},
    {Sin[u - v], Sin[u + v], -Cos[u + v]},
    {Cos[u + v], Sin[u - v], Sin[u + v]},
    {-Sin[u + v], Sin[u - v], Cos[u + v]},
    {-Cos[u + v], Sin[u - v], -Sin[u + v]},
    {Sin[u + v], Sin[u - v], -Cos[u + v]}
  },
  {u, 0, Pi/4},
  {v, 0, Pi/4},
  Mesh -> False, PlotStyle -> Opacity[0.7]
]

intersection

计算得

V=483∫0π4sin⁡x dx=16−82V=\frac {48} 3 \int_0^\frac \pi 4 \sin x\, \mathrm{d}x=16-8\sqrt{2}

参考文献：

  1. 周奇. 2008-2011 年数学笔记 [H]. 2010, 06: 51.