如何用 Photoshop 画出等角螺线

Follow these steps:

1. 画一个路径
2. 作缩放和旋转变换
3. 再次变换若干次
4. 用画笔描边

关于一点的缩放和关于另一点的旋转的复合，是平面到自身的一个非退化的线性变换。这样的（非平凡）线性变换有且只有一个不动点 $O$。任一点经过一次变换，到 $O$ 的距离乘以一个常数倍，与 $O$ 的连线旋转一个常数角。任一点的所有次变换像在某等角螺线 $r=a\text{e}^{bθ}; a,b\in \R$ 上。

通过此图容易看出这四条等角螺线互为渐屈线。更一般地，Jacob Bernoulli 发现所有等角螺线的渐屈线和渐伸线仍是全等于自身的等角螺线。不仅如此，Jacob Bernoulli 还发现等角螺线在求反演、求垂足曲线、缩放等诸多变换后仍然是原先的等角螺线。

Jacob Bernoulli 决定把等角曲线刻在自己的墓碑上，还加上了一句话“Eadem mutata resurgo”大意是“我就是不变”，结果雕刻工匠把等速螺线刻了上去。

等角螺线还是小狗追逐问题的解：在正方形的四个角上有四只小狗，每只小狗朝向左边的小狗以相同的速率奔跑，求其路径。小狗们在相遇之前转了无数圈，每只小狗所走路程等于正方形边长。

利用“动作”工具做的彩虹圈：

总而言之，看完 oeasy 老师的 Ps 教程 后涨了不少新姿势。