新图标

我决定为站点添加一个图标。然而找不到想表达的意思，干脆弄一个拉风的动态图标好了。

支持动态图标的浏览器

据说 Chrome 也是看不到动画效果的，不过管它呢，我用火狐。

构造

旋转起来有特色的图形，我想到了两个：一个是太极图，另一个是蚊香。正在两者之间犹豫时，我灵机一动 🤔 ，画出了这张图：

于是有了现在的图标。

如你所见：

• 这个集合是有界的连通开集，被包含在 $\{r<\frac{\pi}{2}\}$ 以内，且占据了它一半的面积；
• 在接近中心的地方，它表现得像太极图那样初等；在接近外围的地方，它又像阿基米德螺线那样盘旋了无数圈。

作图过程中的问题

在 Mathematica 中作图时，遇到了不少问题：

1. 一开始用的表达式：

   $$\left(\arctan{\frac{t}{2}}\cos(t-s),\arctan{\frac{t}{2}}\sin(t-s)\right),t\in(0, 200),s\in(0,\pi)$$

   这样有个显著的缺点：当 $t$ 固定时，点随 $s$ 的变化扫出的是一段半圆弧，所以只有 $s$ 的取样点足够多时，才不至于看到明显的折角。

   解决方案：把表达式改成

   $$\left(\arctan{\frac{t+s}{2}}\cos{t},\arctan{\frac{t+s}{2}}\sin{t}\right),t\in(0,200),s\in(0,\pi)$$

   当 $t$ 固定时，点随 $s$ 的变化扫出的是一条线段，这样 $s$ 只要取三个样点就可以了。

2. 采用了新的表达式，极轴下方的“蛇头”却不翼而飞。

   解决方案：不慌不忙地把“蛇头”补上：

   $$\left(-\arctan{\frac{u}{2}}\cos{u}\,v, -\arctan{\frac{u}{2}}\sin{u}\,v\right),u\in(0, \pi), v\in(0, 1)$$

3. 由于边界线存在固定宽度，图形外围一片漆黑，而不是设想中的 50% 灰。

   解决方案：不显示边界线。

4. 去掉边界线之后，原先平滑的边缘变成了锯齿状。这是由于曲线的图像支持抗锯齿，而区域不支持。

   解决方案：图形抗锯齿工具

ParametricPlot3D[
  {
    {Cos[u + v], Sin[u + v], Sin[u - v]},
    {-Sin[u + v], Cos[u + v], Sin[u - v]},
    {-Cos[u + v], -Sin[u + v], Sin[u - v]},
    {Sin[u + v], -Cos[u + v], Sin[u - v]},
    {Sin[u - v], Cos[u + v], Sin[u + v]},
    {Sin[u - v], -Sin[u + v], Cos[u + v]},
    {Sin[u - v], -Cos[u + v], -Sin[u + v]},
    {Sin[u - v], Sin[u + v], -Cos[u + v]},
    {Cos[u + v], Sin[u - v], Sin[u + v]},
    {-Sin[u + v], Sin[u - v], Cos[u + v]},
    {-Cos[u + v], Sin[u - v], -Sin[u + v]},
    {Sin[u + v], Sin[u - v], -Cos[u + v]}
  },
  {u, 0, Pi/4},
  {v, 0, Pi/4},
  Mesh -> False, PlotStyle -> Opacity[0.7]
]

题外话

在很长的一段时间内，人们认为平面上的曲线至多是两个不相交区域（即连通开集）的公共边界。上面的图形给出了一个反例： $\{r=\frac{\pi}{2}\}$ 是三个区域 $A$ 、 $A$ 的中心对称像和 $\{r>\frac{\pi}{2}\}$ 的公共边界。类似地，可以构造任意多个不相交区域有公共边界的情形。