自然数方幂的和
我们已经知道：\[\begin{align*}\sum_{r=1}^n r&=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2} \\ \sum_{r=1}^n r^2&=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} \\ \sum_{r=1}^n r^3&=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4} \\ \sum_{r=1}^n r^4&=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \\ \sum_{r=1}^n r^5&=\frac{n^6}{6}+\frac{n^5}{2}+\frac{5n^4}{12}-\frac{n^2}{12}\end{align*}\] 为了确定一般的表达式，笔者提出了这样的猜测：\[\begin{align}\sum_{r=1}^n r^k&=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\frac{\tbinom{k}{0}n^k}{2}+\frac{\tbinom{k}{1}n^{k-1}}{12}-\frac{\tbinom{k}{3}n^{k-3}}{120}+\cdots \nonumber \\ &=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\sum_{l=0}^{k-1}c_l\binom{k}{l}n^{k-l}\label{mine}\end{align}\] 其中 c 为待定系数组：c0=1/2；c1=1/12……在上式中令 n=1，得到 c 的递推关系式\[\begin{equation}\label{recursion}\frac{k}{k+1}=\sum_{l=1}^{k-1}c_l\binom{k}{l}\end{equation}\] 在 Mathematica 中求出 c 的前 100 项，并检验方程\(\eqref{mine}\)：
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
c = {}; TrueSum[exp_, n_] := Plus @@ (Range[n]^exp); (* 按 (1) 左边求和 *) UnknownSum[exp_, n_] := Plus @@ Append[MapIndexed[#1 Binomial[exp, First[#2] - 1] n^(exp - First[#2] + 1) &, Take[c, exp]], n^(1 + exp)/(1 + exp)]; (* 按 (1) 右边求和 *) Do[ AppendTo[c, (k/(k + 1) - Plus @@ MapIndexed[#1 Binomial[k, First[#2] - 1] &, c])/k]; (* 按 (2) 逐项求 c *) Do[b = True; b = b && UnknownSum[k, r] == TrueSum[k, r], {r, k + 1}]; (* b 为真当且仅当对所有 r<k+2， (1) 均成立，此时由线性方程组理论知 (1） 恒成立 *) Print[Underoverscript["\[Sum]", "r=1", "n"], "r"^k, If[b, "=", "!="], TraditionalForm[UnknownSum[k, "n"]]], (* 按 b 的值输出关于 k 的公式 *) {k, 100}] |
输出队列的最后一个单元
由此结果，有理由相信\(\eqref{mine}\) 是成立的。
事实上，Jacob Bernoulli 早已证明了\(\eqref{mine}\) 的正确性，并给出了一种更统一的表达：\[\sum_{r=0}^n r^k=\frac{1}{k+1}\sum_{l=1}^{k+1}\binom{k+1}{l}(-1)^{k-l+1}B_{k-l+1}n^l\] 其中，\(B_{n}\) 为 Bernoulli 数，有\[B_n=\begin{cases}1, & n=0 \\-1/2, & n=1 \\nc_{n-1}, & n\geq 2\end{cases}\]
参考文献：
- 周奇. 2008-2011 年数学笔记 [H]. 2010, 09: 71-74.
- Weisstein, Eric W. Bernoulli Number.