自然数方幂的和

发布于 2014/04/13

我们已经知道：

\begin{align*} \sum_{r=1}^n r &= \frac{n^2}{2}+\frac{n}{2} \\ \sum_{r=1}^n r^2 &= \frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} \\ \sum_{r=1}^n r^3 &= \frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4} \\ \sum_{r=1}^n r^4 &= \frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \\ \sum_{r=1}^n r^5 &= \frac{n^6}{6}+\frac{n^5}{2}+\frac{5n^4}{12}-\frac{n^2}{12} \end{align*}

为了确定一般的表达式，笔者提出了这样的猜测：

\begin{align} \sum_{r=1}^n r^k &=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\frac{\tbinom{k}{0}n^k}{2}+\frac{\tbinom{k}{1}n^{k-1}}{12}-\frac{\tbinom{k}{3}n^{k-3}}{120}+\cdots \nonumber\\ &=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\sum_{l=0}^{k-1}c_l\binom{k}{l}n^{k-l} % (1) \end{align}

其中 $c$ 为待定系数组： $c_0=\frac{1}{2}, c_1=\frac{1}{12}$ … 在上式中令 $n=1$ ，得到 $c$ 的递推关系式

\frac{k}{k+1}=\sum_{l=1}^{k-1}c_l\binom{k}{l}

在 Mathematica 中求出 c 的前 100 项，并检验方程 $(1)$ ：

c = {};
(* 按 (1) 左边求和 *)
TrueSum[exp_, n_] := Plus @@ (Range[n]^exp);
(* 按 (1) 右边求和 *)
UnknownSum[exp_, n_] := Plus @@ Append[MapIndexed[#1 Binomial[exp, First[#2] - 1] n^(exp - First[#2] + 1) &, Take[c, exp]], n^(1 + exp)/(1 + exp)];

Do[
  (* 按 (2) 逐项求 c *)
  AppendTo[c, (k/(k + 1) - Plus @@ MapIndexed[#1 Binomial[k, First[#2] - 1] &, c])/k];
  (* b 为真当且仅当对所有 r<k+2， (1) 均成立，此时由线性方程组理论知 (1） 恒成立 *)
  Do[b = True; b = b && UnknownSum[k, r] == TrueSum[k, r], {r, k + 1}];
  (* 按 b 的值输出关于 k 的公式 *)
  Print[Underoverscript["\[Sum]", "r=1", "n"], "r"^k, If[b, "=", "!="], TraditionalForm[UnknownSum[k, "n"]]], {k, 100}]

由此结果，有理由相信 $(1)$ 是成立的。

事实上，Jacob Bernoulli 早已证明了 $(1)$ 的正确性，并给出了一种更统一的表达：

\sum_{r=0}^n r^k=\frac{1}{k+1}\sum_{l=1}^{k+1}\binom{k+1}{l}(-1)^{k-l+1}B_{k-l+1}n^l

其中， $B_{n}$ 为 Bernoulli 数，有

B_n = \begin{cases} 1, & n=0 \\ -1/2, & n=1 \\ nc_{n-1}, & n\geq 2 \end{cases}

参考文献：

周奇. 2008-2011 年数学笔记[H]. 2010, 09: 71-74.
Weisstein, Eric W. Bernoulli Number.