自然数方幂的和

我们已经知道:\[\begin{align*}\sum_{r=1}^n r&=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2} \\ \sum_{r=1}^n r^2&=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} \\ \sum_{r=1}^n r^3&=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4} \\ \sum_{r=1}^n r^4&=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \\ \sum_{r=1}^n r^5&=\frac{n^6}{6}+\frac{n^5}{2}+\frac{5n^4}{12}-\frac{n^2}{12}\end{align*}\] 为了确定一般的表达式,笔者提出了这样的猜测:\[\begin{align}\sum_{r=1}^n r^k&=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\frac{\tbinom{k}{0}n^k}{2}+\frac{\tbinom{k}{1}n^{k-1}}{12}-\frac{\tbinom{k}{3}n^{k-3}}{120}+\cdots \nonumber \\ &=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\sum_{l=0}^{k-1}c_l\binom{k}{l}n^{k-l}\label{mine}\end{align}\] 其中 c 为待定系数组:c0=1/2;c1=1/12……在上式中令 n=1,得到 c 的递推关系式\[\begin{equation}\label{recursion}\frac{k}{k+1}=\sum_{l=1}^{k-1}c_l\binom{k}{l}\end{equation}\] 在 Mathematica 中求出 c 的前 100 项,并检验方程\(\eqref{mine}\):

输出队列的最后一个单元

输出队列的最后一个单元

由此结果,有理由相信\(\eqref{mine}\) 是成立的。

事实上,Jacob Bernoulli 早已证明了\(\eqref{mine}\) 的正确性,并给出了一种更统一的表达:\[\sum_{r=0}^n r^k=\frac{1}{k+1}\sum_{l=1}^{k+1}\binom{k+1}{l}(-1)^{k-l+1}B_{k-l+1}n^l\] 其中,\(B_{n}\) 为 Bernoulli 数,有\[B_n=\begin{cases}1, & n=0 \\-1/2, & n=1 \\nc_{n-1}, & n\geq 2\end{cases}\]
参考文献:

  1. 周奇. 2008-2011 年数学笔记 [H]. 2010, 09: 71-74.
  2. Weisstein, Eric W. Bernoulli Number.

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